Дифференциальные уравнения — задача

Зад.1 Общее решение дифференц. уравнения

Сначала ищем решение однородного уравнения xy’-2y=0 Разделяем переменные

Dy/y=2dx/x Интегрируем обе части равенства

Ln|y|=2ln|x|+C1 вносим С1 как множитель под знак log

Y=Cx2

Решение исходного неоднородного уравнения ищем методом вариации постоянных,

Т. е в виде y=C(x)x2 Дифференцируя имеем y’=C’x2 +2Cx

Подставив в исходное уравнение имеем

Откуда C’=-1/x или интегрируя С(x)=-ln(|x|)+C1=-ln(|C2*x|)

Получим общее решение исходного уравнения в виде

Зад.11

Общее решение дифференциального уравнения 2 порядка (1)

Замена переменных z=y’ (1) переходит в уравнение:

Z’xlnx-z=0 (2)

Разделяем переменные :

Интегрируем обе части равенства:

LnZ=ln(lnx+C1)=ln(Clnx) после потенцирования: получим

z=Clnx или исходное уравнение свелось к

y’=Clnx (3)

Или dy=Clnx*dx (4)

Интеграл берём интегрированием по частям

U=lnx dv=dx откуда du=dx/x v=x

Подставив в (4) получим окончательное решение

Y=C(x-1)lnx+C1 (5)

Зад.31

Частное решение дифференц. уравнения y»-3y’-4y=17sinx Начальн. усл. y(0)=4 y’(0)=0

А)ищем общее решение однородного дифференц. уравнения в виде Yo=Cept

После подстановки однородное дифференци. уравнение сводится к характеристическому:

P2-3p-4=0 или (p-4)(p+1)=0

P1=4, p2=-1 Общее решение однородного уравнения:

Yo(t)=C1*exp(p1t)+C2*exp(p2t)=C1*exp(4t)+C2*exp(-t)

Частное решение исходного уравнения ищем в виде

Y(t)=A1cosx+A2sinx Y’=A2cosx-A1sinx Y’’=-A1cosx-A2sinx

Подставляя эти выражения в исходное уравнение после приравнивая коэффициентов при sinx к 17

И при cosx к 0 получим систему 2 линейных уравнений:

-A1 -3A2-4A1=0 или 5A1=-3A2 A1=-0.6A2 (*)

-A2 +3A1-4A2=3A1-5A2=17 (**)

Исключая A1 из (**) имеем: -1.8A2-5A2=-6.8A2=17 A2=-17/6.8=-2.5

A1=-0.6A2=(-0.6)(-2.5)=1.5

Частное решение Yч=1.5cosx-2.5sinx

Общее решение – сумма 2 найденных решений:

Y(x)=Yч(ч)+Yo(x)= 1.5cosx-2.5sinx + C1*exp(4t)+C2*exp(-t)

Зад.41

Система уравнений

Dx/dt=x-3y dy/dt=3x+y

Скачать "Дифференциальные уравнения"

Формат: Microsoft Word | TXT

Раздел: Задачи

Просмотров: 780

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*